Резонанс напряжений

Резонанс напряжений

Если последовательно с генератором соединить конденсатор и катушку индуктивности, то, при условии равенства их реактивных сопротивлений, возникнет резонанс напряжений. При этом активная часть Z должно быть как можно меньшей.

Стоит отметить, что индуктивность и емкость обладает только реактивными качествами лишь в идеализированных примерах. В реальных же цепях и элементах всегда присутствует активное сопротивление проводников, хоть оно и крайне мало.

При резонансе происходит обмен энергией между дросселем и конденсатором. В идеальных примерах при первоначальном подключении источника энергии (генератора) энергия накапливается в конденсаторе (или дросселе) и после его отключения происходят незатухающие колебания за счет этого обмена.

Напряжения на индуктивности и емкости примерно одинаковы, согласно закону Ома:

U=I/X

Где X — это Xc емкостное или XL индуктивное сопротивление соответственно.

Цепь, состоящую из индуктивности и емкости, называют колебательным контуром. Его частота вычисляется по формуле:

Период колебаний определяется по формуле Томпсона:

Так как реактивное сопротивление зависит от частоты, то сопротивление индуктивности с ростом частоты увеличивается, а у ёмкости падает. Когда сопротивления равны, то общее сопротивление сильно снижается, что отражено на графике:

Основными характеристиками контура являются добротность (Q) и частота. Если рассмотреть контур в качестве четырехполюсника, то его коэффициент передачи после несложных вычислений сводится к добротности:

K=Q

А напряжение на выводах цепи увеличивается пропорционально коэффициенту передачи (добротности) контура.

Uк=Uвх*Q

При резонансе напряжений, чем выше добротность, тем больше напряжение на элементах контура будет превышать напряжение подключенного генератора. Напряжение может повышаться в десятки и сотни раз. Это отображено на графике:

Потери мощности в контуре обусловлены только наличием активного сопротивления. Энергия из источника питания берется только для поддержания колебаний.

Коэффициент мощности будет равен:

cosФ=1

Эта формула показывает, что потери происходят за счет активной мощности:

S=P/Cosф

Применение на практике

Рассмотрим, какая польза и вред резонанса токов и напряжений. Наибольшую пользу явления резонанса принесли в радиопередающей аппаратуре. Простыми словами, а схеме приемника установлены катушка и конденсатор, подключенные к антенне. С помощью изменения индуктивности (например, перемещая сердечник) или величины емкости (например, воздушным переменным конденсатором) вы настраиваете резонансную частоту. В результате чего напряжение на катушке повышается и приемник ловит определенную радиоволну.

Вред эти явления могут на нести в электротехнике, например, на кабельных линиях. Кабель представляет собой распределенную по длине индуктивность и емкость, если на длинную линию подать напряжение в режиме холостого хода (когда на противоположном от источника питания конце кабеля нагрузка не подключена). Поэтому есть опасность того, что произойдет пробой изоляции, во избежание этого подключается нагрузочный балласт. Также аналогичная ситуация может привести к выходу из строя электронных компонентов, измерительных приборов и другого электрооборудования – это опасные последствия возникновения этого явления.

Примечания

  1. Однако, точное решение задачи о максимуме напряжения на катушке и конденсаторе с учётом величины добротности Q{\displaystyle Q}, даёт несколько другой результат. Часто́ты ωC{\displaystyle \omega _{C}} и ωL{\displaystyle \omega _{L}}, на которых напряжение на катушке и конденсаторе достигает максимума, не равны между собой, и не совпадают с частотой резонанса ω{\displaystyle \omega _{0}}:
    ωC=ω2Q2−12Q2{\displaystyle \omega _{C}=\omega _{0}{\sqrt {\frac {2Q^{2}-1}{2Q^{2}}}}}


    ωL=ω{\displaystyle \omega _{L}=\omega _{0}}2Q22Q2−1{\displaystyle {\sqrt {\frac {2Q^{2}}{2Q^{2}-1}}}}

    Видно, что с увеличением добротности контура, часто́ты ωC{\displaystyle \omega _{C}} и ωL{\displaystyle \omega _{L}} сближаются с резонансной частотой ω{\displaystyle \omega _{0}}.

Это заготовка статьи об электронике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

Емкость и индуктивность в цепи переменного тока

Если в цепях постоянного тока емкость в общем смысле представляет собой разорванный участок цепи, а индуктивность — проводник, то в переменном конденсаторы и катушки представляют собой реактивный аналог резистора.

Реактивное сопротивление катушки индуктивности определяется по формуле:

Векторная диаграмма:

Реактивное сопротивление конденсатора:

Здесь w — угловая частота, f — частота в цепи синусоидального тока, L — индуктивность, C — емкость.

Векторная диаграмма:

Стоит отметить, что при расчете соединенных последовательно реактивных элементов используют формулу:

Обратите внимание, что емкостная составляющая принимается со знаком минус. Если в цепи присутствует еще и активная составляющая (резистор), то складывают по формуле теоремы Пифагора (исходя из векторной диаграммы):. От чего зависит реактивное сопротивление? Реактивные характеристики зависят от величины емкости или индуктивности, а также от частоты переменного тока

От чего зависит реактивное сопротивление? Реактивные характеристики зависят от величины емкости или индуктивности, а также от частоты переменного тока.

Если посмотреть на формулу реактивной составляющей, то можно заметить, что при определенных значениях емкостной или индуктивной составляющей их разность будет равна нулю, тогда в цепи останется только активное сопротивление. Но это не все особенности такой ситуации.

Описание явления

Резонанс напряжений, основанный на трансформаторе.

Явление резонанса напряжений возникает на частоте ω{\displaystyle \omega _{0}}, при которой индуктивное сопротивление катушки XL=ωL{\displaystyle X_{L}=\omega _{0}L} и ёмкостное сопротивление конденсатора XC=1ωC{\displaystyle X_{C}={\frac {1}{\omega _{0}C}}} равны между собой.
При этом Электрический импеданс (полное сопротивление) цепи

z^(jω)=R+1jωC+jωL{\displaystyle {\hat {z}}(j\omega _{0})\;=R+{\frac {1}{j\omega _{0}C}}+j\omega _{0}L}

уменьшается, становится чисто активным и равным R{\displaystyle R} (сумма активного сопротивления катушки и соединительных проводов).
В результате, согласно закону Ома: I=UR{\displaystyle I={\frac {U}{R}}},
ток в цепи достигает своего максимального значения.

Следовательно, напряжения как на катушке UL=IXL{\displaystyle U_{L}=IX_{L}}, так и на конденсаторе UC=IXC{\displaystyle U_{C}=IX_{C}} окажутся равными и будут максимально большой величины. При малом активном сопротивлении цепи R{\displaystyle R} эти напряжения могут во много раз превысить общее напряжение U{\displaystyle U} на зажимах цепи, которое создаёт генератор. Это явление и называется в электротехнике резонансом напряжений.

Добротность последовательного колебательного контура

Ну раз уж мы начали задвигать тему колебательных контуров, поэтому мы не можем обойти стороной такой параметр, как добротность колебательного контура. Так как мы уже провели некоторые опыты, то нам будет проще определить добротность, исходя из амплитуды напряжений. Добротность обозначается буквой Q и вычисляется по первой простой формуле:

Давайте посчитаем добротность в нашем случае.

Так как цена деления одного квадратика по вертикали 2 Вольта, следовательно, амплитуда сигнала  генератора частоты 2 Вольта.

А это то, что мы имеем на зажимах конденсатора или катушки. Здесь цена деления одного квадратика по вертикали 5 Вольт. Считаем квадратики и умножаем. 5х4=20 Вольт.

Считаем по формуле добротности:

Q=20/2=10. В принципе немного и не мало. Пойдет. Вот так вот на практике можно найти добротность.

Есть также вторая формула для вычисления добротности.

где

R – сопротивление потерь в контуре, Ом

L – индуктивность, Генри

С – емкость, Фарад

Зная добротность, можно легко найти сопротивление потерь R последовательного колебательного контура.

Также хочу добавить пару слов о добротности. Добротность контура – это качественный показатель колебательного контура. В основном его стараются всегда увеличить различными всевозможными способами. Если взглянуть на формулу выше, то можно понять, для того, чтобы увеличить добротность, нам надо как-то уменьшить сопротивление потерь колебательного контура. Львиная доля потерь относится к катушке индуктивности, так как она уже конструктивно имеет большие потери. Она намотана из провода и в большинстве случаев имеет сердечник. На высоких частотах в проводе начинает проявляться скин-эффект, который еще больше вносит потери в контур.

Резонанс напряжений

Основы > Задачи и ответы > Одиночные колебательные контуры

Резонанс напряжений

1. Реостат с резистивным сопротивлением R=1Ом, катушка с индуктивностью L=5,05 мГн и конденсатор емкостью С=0,05 мкФ соединены последовательно. Вычислить резонансную частоту, характеристическое сопротивление, затухание контура, напряжения при резонансной частоте. При каких частотах напряжения на конденсаторе и катушке достигнут максимума?Чему они будут равны, если действующее значение напряжения переменной частоты, приложенного к пени, U=10 В?Решение:
Частоты, при которых напряжения на индуктивности и емкости максимальны, и значения этих максимальных напряжений определяют по формулам, известным из теории:2. Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных резистора, сопротивление которого R=10Ом, катушки с индуктивностью L=100мкГн и конденсатора с емкостью С=100пФ. Определить резонансную частоту , характеристическое сопротивление r, затухание d и добротность Q. Чему равны ток , расходуемая в цепи мощность , напряжения на индуктивной катушке и конденсаторе при резонансе, если контур включен на напряжение U=1 В? Вычислить абсолютное значение полосы пропускания контура.Решение:

3. К контуру, данные которого приведены в задаче 2, подведено напряжение U=1 В с угловой частотой . Чему при этом равны реактивное и полное сопротивления цепи, ток, мощность, напряжение на конденсаторе, сдвиг фазj между приложенным напряжением и током, сдвиг фаз j’ между приложенным напряжением и напряжением на конденсаторе, коэффициенты передачи по току и по напряжению?Решение:
Прежде всего вычислим абсолютную, относительную и обобщенную расстройки:.Реактивное и полное сопротивления: . Ток и расходуемая в цепи мощность:.Напряжение на конденсаторе:
Сдвиг фаз между напряжением и током:
Найдем сдвиг фаз j’ между . Так как расстройка положительна, то и ток отстает от напряжения на угол j; вектор напряжения на конденсаторе отстает от вектора тока на 90° (рис. 5.11), поэтому отстает от на угол j’= j+ 90°С=111°50′.При заданной расстройке коэффициенты передачи по току и напряжению:

4. Для контура и данных, рассмотренных в задачах 2 и 3, построить ампдитудно- и фазочастотные характеристики тока и напряжения на конденсаторе в зависимости от отношения , от отношения расстройки частоты питающего генератора к резонансной частоте (построение сделать для частот, отличающихся от резонансной на ±10%) и от обобщенной расстройки (в пределах ±4).Решение:
Построение амплитудно- и фазочастотной характеристик тока и напряжения на конденсаторе в зависимости от


На практике обычно приходится иметь дело с небольшими расстройками . В этом случае, учитывая, что
формулы для примут такой вид:
Для удобства расчеты сведены в таблицу 1. При этом следует иметь в виду, что
По данным таблицы 1 на рис. 5.12 начерчены требуемые кривые в зависимости от .Кривые зависимостей от обобщенной расстройки:

Таблица 1

Задаваемые значения

Расчеты по приближенным формулам

Искомые значения, рассчитанные по приближенным формулам

-0,10-0,08-0,06-0,04-0,020,020,040,060,080,10

0,900,920,940,960,981,001,021,041,061,081,10

-0,20-0,16-0,12-0,08-0,040,040,080,120,160,20

-20-16-12-8-4048121620

5,06,28,312,424,310024,312,48,36,25,0

-87°10′-86°25′-85°15′-82°50′-76°076°82°50’85°15’86°25’87°10′

5,06,28,312,424,310024,312,48,36,25,0

2°50’3°35’4°45’7°10’14°90°166°172°50’175°15’176°25’177°10′

 

Результаты расчетов сведены в таблицу 2, а соответствующие кривые даны на рис. 5.12.Наконец, выясним, каким значениям соответствует некоторая фиксированная величина x. Пусть x=±1. Тогда из выражения находим, что
или , отсюда
Таким образом, значению x=±1 соответствуют или 0,995, т.е. частота генератора напряжения отклоняется от резонансной на ±0,5%. Аналогично найдем, что x=2 соответствует , при; при

Таблица 2

-4-3-2-101234

24,331,644,770,7 100 70,7 44,7 31,6 24,3

-82°50′-71°35′-63°30′-45°045°63°30’71°35’82°50′

24,331,644,770,710070,744,731,624,3

7°10’18°25’26°30’45°90°135°153°30’161°35’172°50′

 

Смотри полное содержание по представленным решенным задачам на websor.

Реактивные сопротивления индуктивности и емкости

Индуктивностью называется способность тела накапливать энергию в магнитном поле. Для нее характерно отставание тока от напряжения по фазе. Характерные индуктивные элементы — дросселя, катушки, трансформаторы, электродвигатели.

Емкостью называются элементы, которые накапливают энергию с помощью электрического поля. Для емкостных элементов характерно отставание по фазе напряжения от тока. Емкостные элементы: конденсаторы, варикапы.

Приведены их основные свойства, нюансы в пределах этой статьи во внимание не берутся. Кроме перечисленных элементов другие также имеют определенную индуктивность и емкость, например в электрических кабелях распределенные по его длине

Кроме перечисленных элементов другие также имеют определенную индуктивность и емкость, например в электрических кабелях распределенные по его длине.

Применение

При совпадении частоты генератора и собственных колебаний контура на катушке появляется напряжение, более высокое, чем на клеммах генератора. Это можно использовать для питания высокоомной нагрузки повышенным напряжением, или в полосовых фильтрах.

Если напряжение источника питания слишком маленькое, то можно его повысить если устроить последовательный резонанс на основе трансформатора. Если при этом полученное напряжение окажется больше расчетного для трансформатора, то первичная и вторичная обмотки соединяются последовательно чтобы трансформатор не вышел из строя.

Принцип работы последовательного колебательного контура

Генератор частоты и последовательный колебательный контур

Давайте проведем классический эксперимент, который есть в каждом учебнике по электронике. Для этого соберем вот такую схему:

Генератор (Ген)у нас будет выдавать синус.

Для того, чтобы снять осциллограмму силы тока через последовательный колебательный контур, мы подключим в схему шунтовый резистор с малым сопротивлением в 0,5 Ом и с него уже будем снимать напряжение. То есть в данном случае мы шунт используем для наблюдения силы тока в цепи.

А вот и сама схема в реальности:

Слева-направо: шунтовый резистор, катушка индуктивности и конденсатор. Как вы уже поняли, сопротивление R – это суммарное сопротивление потерь катушки и конденсатора, так как нет идеальных радиоэлементов. Оно “прячется” внутри катушки и конденсатора, поэтому в реальной схеме отдельным радиоэлементом мы его не увидим.

Теперь нам осталось подцепить эту схему к генератору частоты и осциллографу, и прогнать по некоторым частотам, снимая осциллограмму с шунта Uш , а также снимая осциллограмму с самого генератора UГЕН.

С шунта мы будем снимать напряжение, которое у нас отображает поведение силы тока в цепи, а с генератора собственно сам сигнал генератора. Давайте прогоним нашу схемку по некоторым частотам и глянем что есть что.

Влияние частоты генератора на сопротивление колебательного контура

В схеме я взял конденсатор на 1мкФ и катушку индуктивности на 1 мГн. На генераторе настраиваю синус размахом в 4 Вольта. Вспоминаем правило: если в цепи соединение радиоэлементов идет последовательно друг за другом, значит, через них течет одинаковая сила тока.

Красная осциллограмма – это напряжение с генератора частоты, а желтая осциллограмма – отображение силы тока через напряжение на шунтовом резисторе.

Частота 200 Герц с копейками:

Как мы видим, при такой частоте ток в этой цепи есть, но очень слабый

Добавляем частоту. 600  Герц с копейками

Здесь мы уже отчетливо видим, что сила тока возросла, а также видим, что осциллограмма силы тока опережает напряжение. Попахивает реактивным сопротивлением конденсатора.

Добавляем частоту. 2 Килогерца

Сила тока стала еще больше.

3 Килогерца

Сила тока увеличилась. Заметьте также, что сдвиг фаз стал уменьшаться.

4,25 Килогерц

Осциллограммы почти уже сливаются в одну. Сдвиг фаз между напряжением и силой тока становится почти незаметным.

И вот на какой-то частоте у нас сила тока стала максимальной, а сдвиг фаз стал равен нулю. Запомните этот момент. Для нас он будет очень важен.

Ну а давайте далее будем увеличивать частоту. Смотрим, что получается в итоге.

Еще совсем недавно ток опережал напряжение, а сейчас уже стал запаздывать после того, как выровнялся с ним по фазе. Так как ток уже отстает от напряжения, здесь уже попахивает реактивным сопротивлением катушки индуктивности.

Увеличиваем частоту еще больше

Сила тока начинает падать, а сдвиг фаз увеличивается.

22 Килогерца

74 Килогерца

Как вы видите, с увеличением частоты, сдвиг приближается к 90 градусов, а сила тока становится все меньше и меньше.

Ссылка на основную публикацию